卡方检验（χ²检验）

卡方分布（Chi-Squared Distribution）

（1）专业解释

定义

卡方分布（Chi-square distribution）是概率论和统计学中的一种连续概率分布，记作

χ

2

(

k

)

\chi^2(k)

χ2(k)，其中

k

k

k 是自由度。

百度解释：

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。卡方分布是一种常见的概率分布。

代码模拟

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.stats import chi2

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 设置黑体作为默认字体

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决负号显示异常

# 设置随机种子保证可重复性

np.random.seed(42)

# 模拟自由度为3的卡方分布

def simulate_chi_square(n_samples):

z1 = np.random.randn(n_samples) # 1万个标准正态随机数

z2 = np.random.randn(n_samples)

z3 = np.random.randn(n_samples)

return z1**2 + z2**2 + z3**2 # 平方和

x_values = simulate_chi_square(10000)

# 绘制直方图 vs 理论曲线

plt.hist(

x_values, # 输入的模拟数据数组（1万个X值），包含1万个自由度为3的卡方分布随机数

bins=50, # 将数据范围分成50个柱子

density=True, # 归一化为概率密度（面积总和=1），每个柱子的高度 = 该区间样本数 / (总样本数 × 柱子宽度)， 可直接与理论概率密度曲线比较

alpha=0.7, # 设置透明度（0=全透明，1=不透明）

label='模拟值' # 图例标签

)

xx = np.linspace(0, 20, 500)# 生成X轴坐标点

plt.plot(

xx, # X轴坐标

chi2.pdf(xx, df=3), # Y轴：自由度为3的卡方分布概率密度

'r-', # 红色实线样式

lw=2, # 线宽为2

label='理论卡方(df=3)' # 图例标签

)

plt.legend()

plt.savefig('plot.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

plt.show()

数学表达

如果

Z

1

,

Z

2

,

…

,

Z

k

Z_1, Z_2, \ldots, Z_k

Z1​,Z2​,…,Zk​ 是

k

k

k 个独立的标准正态随机变量（即

Z

i

∼

N

(

0

,

1

)

Z_i \sim N(0,1)

Zi​∼N(0,1)），那么它们的平方和：

Q

=

Z

1

2

+

Z

2

2

+

⋯

+

Z

k

2

Q = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2

Q=Z12​+Z22​+⋯+Zk2​ 服从自由度为

k

k

k 的卡方分布，即

Q

∼

χ

2

(

k

)

Q \sim \chi^2(k)

Q∼χ2(k)。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：

f

(

x

;

k

)

=

1

2

k

/

2

Γ

(

k

/

2

)

x

k

/

2

−

1

e

−

x

/

2

,

x

≥

0

f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2}, \quad x \geq 0

f(x;k)=2k/2Γ(k/2)1​xk/2−1e−x/2,x≥0

其中：

k

k

k 是自由度参数

Γ

(

⋅

)

\Gamma(\cdot)

Γ(⋅) 是伽马函数

x

≥

0

x \geq 0

x≥0（卡方分布只取非负值）

重要性质

均值：

E

[

X

]

=

k

E[X] = k

E[X]=k方差：

V

a

r

[

X

]

=

2

k

Var[X] = 2k

Var[X]=2k偏度：

8

/

k

\sqrt{8/k}

8/k

​峰度：

12

/

k

12/k

12/k

可加性

如果

X

1

∼

χ

2

(

k

1

)

X_1 \sim \chi^2(k_1)

X1​∼χ2(k1​) 和

X

2

∼

χ

2

(

k

2

)

X_2 \sim \chi^2(k_2)

X2​∼χ2(k2​) 且相互独立，则：

X

1

+

X

2

∼

χ

2

(

k

1

+

k

2

)

X_1 + X_2 \sim \chi^2(k_1 + k_2)

X1​+X2​∼χ2(k1​+k2​)

看不懂？

（2）费曼学习法解释

1、用简单的话说

想象这个场景：

第一次实验：

你有5个学生的标准化成绩：-1.2, 0.8, -0.5, 1.1, 0.3平方后：1.44, 0.64, 0.25, 1.21, 0.09求和：3.63（这是一个具体数字）

第二次实验：

又来了5个学生：0.7, -1.8, 0.2, -0.1, 1.4平方后：0.49, 3.24, 0.04, 0.01, 1.96求和：5.74（又是一个具体数字）

第三次、第四次…

如果你重复这个过程无数次，每次都：

随机抽取5个标准正态分布的数平方求和

你会得到无数个不同的和：3.63, 5.74, 2.18, 7.92, 1.45…，这些和的集合，它们的分布规律，就是卡方分布！

标准化就是把任何分布的数据转换成平均数为0，标准差为1的形式。

2、直观理解

为什么要平方？

平方消除了正负号，让所有数都变成正数平方让极端值（很高或很低的分数）变得更加突出 自由度是什么？

就是你加了多少个平方数如果你有5个独立的标准正态变量，自由度就是5 形状特点：

总是从0开始（因为平方数不能为负）右偏分布（有长长的右尾巴）随着自由度增加，分布越来越像正态分布

3、生活中的例子

想象你在测量一个圆桌的"不圆程度"：

你在桌边随机选择几个点测量每个点到理想圆心的偏差把这些偏差平方后加起来这个总偏差就大致服从卡方分布

（3）实际应用

1. 拟合优度检验

检验观察数据是否符合理论分布：

χ

2

=

∑

i

=

1

k

(

O

i

−

E

i

)

2

E

i

\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

χ2=i=1∑k​Ei​(Oi​−Ei​)2​ 其中

O

i

O_i

Oi​ 是观察频数，

E

i

E_i

Ei​ 是期望频数。

2. 独立性检验

检验两个分类变量是否独立，使用相同的公式结构。

3. 方差检验

检验样本方差是否等于某个假设值。

（4）与其他分布的关系

与正态分布：当自由度很大时，

χ

2

(

k

)

\chi^2(k)

χ2(k) 近似正态分布

N

(

k

,

2

k

)

N(k, 2k)

N(k,2k)与伽马分布：

χ

2

(

k

)

=

Gamma

(

k

/

2

,

2

)

\chi^2(k) = \text{Gamma}(k/2, 2)

χ2(k)=Gamma(k/2,2)与t分布和F分布：都基于卡方分布构建

（5）总结

卡方分布本质上是"标准正态变量平方和"的分布。它在统计检验中极其重要，特别是用于检验数据的拟合程度和变量间的独立性。记住：平方让一切变正，求和让分布右偏，自由度决定分布形状！

自由度（degrees of freedom, df）

🌟 自由度​​ = ​​独立随机变量的个数​​ = ​​能自由变化的数据维度​​ 以卡方分布为例，它的定义是： 其中 Z i是独立的标准正态变量 → ​​自由度就是 k。

对比不同自由度的形态

x = np.linspace(0, 20, 500)

for df in [1, 3, 5, 10]:

plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), label=f'df={df}')

plt.legend()

观察现象​​

df=1：极右偏（因为单个Z²容易接近0）df增大：逐渐对称（中心极限定理作用）自由度本质控制曲线的「形状参数」​

​​物理实验理解​​ 假设你有3个传感器测量同一物理量：

如果​​无约束​​：每个传感器可自由波动 → df=3如果​​已知均值​​：只有2个传感器能自由变化 → df=2这就是自由度的「信息约束」本质！

进一步理解

第一步：从「自由变量」角度理解

想象你在玩一个数字填空游戏： 场景1：给你3个空格 _ _ _，可以随便填数字 → 自由度=3 （比如填 5, 8, 2）

场景2：追加规则「三个数平均值必须是5」 → 自由度=2 此时如果你填 4 和 6，第三个数必须是 5（因为 (4+6+5)/3=5）

这就是自由度的本质： 👉 每增加一个约束条件，就减少一个自由变化的变量

第二步：用「传感器实验」具象化

回到3个温度传感器的例子： 无约束时： 传感器1测到 23℃ 传感器2测到 25℃ 传感器3测到 27℃ 完全自由，自由度=3

已知均值25℃后： 如果传感器1测到 24℃，传感器2测到 26℃ 那么传感器3必须测到 25℃（因为 (24+26+25)/3=25） 只有两个传感器能自由变化，自由度=2

第三步：数学视角验证

对于样本方差的计算：

分母用 n-1 而不是 n，就是因为用样本均值X-估计真实均值时，消耗了1个自由度。相当于只有 n-1 个数据可以自由变化

🎯 自由度的核心规律

场景约束条件自由度单纯测量数据无 n计算样本方差需用\bar{X}n-1线性回归需估计斜率和截距n-2

下次遇到自由度时，问自己两个问题：

这个统计方法用到了哪些估计量？（如均值、方差）每个估计量消耗了多少自由度？

举个例子：

t检验：用样本均值 → 消耗1个自由度 → df=n-1 卡方拟合优度检验：用样本比例 → 消耗1个自由度 → df=k-1

卡方检验（χ²检验）

卡方检验（χ²检验）是一种基于卡方分布的统计方法，主要用于分析分类变量之间的关联性或差异性。以下是其基础用法的核心要点：

1. 主要用途

拟合优度检验：检验样本分布是否符合理论分布（如掷骰子是否公平）。独立性检验：判断两个分类变量是否独立（如吸烟与肺癌是否相关）。同质性检验：比较多个组别的分布是否相同（如不同教育水平的投票倾向）。

2. 适用条件

数据类型：分类变量（频数数据）。样本量要求：

每个单元格的期望频数 ≥5（若未满足，可合并类别或使用Fisher精确检验）。总样本量一般建议 ≥30。

3. 基本步骤

建立假设：

原假设（H₀）：变量间独立或无差异。备择假设（H₁）：变量间不独立或存在差异。 计算卡方统计量：

χ

2

=

∑

(

O

i

−

E

i

)

2

E

i

\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}

χ2=∑Ei​(Oi​−Ei​)2​

O

i

O_i

Oi​：观测频数

E

i

E_i

Ei​ ：期望频数（基于H₀计算）。

确定临界值：

根据自由度（df）和显著性水平（如α=0.05）查卡方分布表。

独立性检验：df = (行数-1) × (列数-1)。 做出决策：

若χ²统计量 > 临界值，拒绝H₀。

4. 实例演示

场景：检验性别（男/女）与是否喜欢某产品（是/否）是否独立。

喜欢不喜欢总计男302050女253560总计5555110

期望频数计算（以“男性喜欢”为例）： [ E_{\text{男,喜欢}} = \frac{50 \times 55}{110} = 25 ]卡方统计量： [ \chi^2 = \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(25-30)^2}{30} + \frac{(35-30)^2}{30} \approx 3.33 ]自由度：df = (2-1)(2-1) = 1，临界值（α=0.05）为3.84。结论：3.33 < 3.84，不拒绝H₀，即性别与产品偏好无显著关联。

5. 注意事项

小样本修正：若存在期望频数 <5，可使用Yates连续性校正（仅2×2列联表）。效应量补充：报告Phi系数、Cramer’s V等以衡量关联强度。不适用于连续数据：若需检验连续变量，考虑分箱或改用其他方法。

6. 软件实现

Python：scipy.stats.chi2_contingency(observed_table)R：chisq.test(matrix)Excel：CHISQ.TEST(observed_range, expected_range)

通过以上步骤，可规范地完成卡方检验并解释结果。实际应用中需结合研究问题和数据特性选择合适的方法。

案例1：拟合优度检验（Goodness-of-Fit Test）

目的：检验样本数据是否符合某个理论分布（如均匀分布、正态分布、二项分布等）。 适用场景：

检验骰子是否公平（各面概率是否均为1/6）。检验某地区出生性别比是否符合1:1。检验某产品的销量是否符合预期的市场份额分布。

具体例子：检验骰子是否公平

假设：掷骰子60次，观察各面出现的次数，检验骰子是否均匀（各面概率=1/6）。 数据：

骰子面123456观测频数（O）8129111010

步骤：

建立假设：

H₀（原假设）：骰子公平，各面概率=1/6。H₁（备择假设）：骰子不公平，至少有一面概率≠1/6。 计算期望频数（E）：

理论期望频数 = 总次数 × 理论概率 = 60 × (1/6) = 10（每面）。 计算卡方统计量： [ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = \frac{(8-10)^2}{10} + \frac{(12-10)^2}{10} + \cdots + \frac{(10-10)^2}{10} = 1.0 ]查卡方分布表：

自由度（df）= 类别数 - 1 = 6 - 1 = 5。临界值（α=0.05）= 11.07。 结论：

1.0 < 11.07，不拒绝H₀，即骰子可能是公平的。

案例2：独立性检验（Test of Independence）

目的：判断两个分类变量是否独立（无关联）。 适用场景：

吸烟与肺癌是否相关？性别与投票偏好是否有关？教育水平与职业选择是否独立？

具体例子：检验吸烟与肺癌是否相关

数据（2×2列联表）：

患肺癌未患肺癌总计吸烟302050不吸烟104050总计4060100

步骤：

建立假设：

H₀：吸烟与肺癌无关（独立）。H₁：吸烟与肺癌相关。 计算期望频数（E）：

吸烟且患肺癌的期望频数 = (行总计 × 列总计) / 总样本量 = (50×40)/100 = 20。其他单元格类似计算：

吸烟未患肺癌：50×60/100 = 30不吸烟患肺癌：50×40/100 = 20不吸烟未患肺癌：50×60/100 = 30 计算卡方统计量： [ \chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} = \frac{(30-20)^2}{20} + \frac{(20-30)^2}{30} + \frac{(10-20)^2}{20} + \frac{(40-30)^2}{30} \approx 16.67 ]查卡方分布表：

自由度（df）= (行数-1) × (列数-1) = (2-1)(2-1) = 1。临界值（α=0.05）= 3.84。 结论：

16.67 > 3.84，拒绝H₀，即吸烟与肺癌显著相关。

案例3：同质性检验（Test of Homogeneity）

目的：比较多个组别的分布是否相同（检验“比例”是否一致）。 适用场景：

不同教育水平（高中、本科、硕士）的投票倾向是否相同？不同地区（A、B、C）的产品偏好是否一致？

具体例子：检验不同教育水平的投票倾向

数据（3×3列联表）：

支持A党支持B党支持C党总计高中20301060本科25352080硕士15252060总计609050200

步骤：

建立假设：

H₀：不同教育水平的投票倾向相同（分布同质）。H₁：至少有一个教育水平的投票倾向不同。 计算期望频数（E）：

高中支持A党的期望频数 = (高中总计 × A党总计) / 总样本量 = 60×60/200 = 18。其他单元格类似计算（如本科支持B党：80×90/200=36）。 计算卡方统计量： [ \chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} = \frac{(20-18)^2}{18} + \frac{(30-27)^2}{27} + \cdots + \frac{(20-15)^2}{15} \approx 6.25 ]查卡方分布表：

自由度（df）= (行数-1) × (列数-1) = (3-1)(3-1) = 4。临界值（α=0.05）= 9.49。 结论：

6.25 < 9.49，不拒绝H₀，即不同教育水平的投票倾向可能相同。

总结对比

检验类型目的数据格式假设示例拟合优度样本是否符合理论分布？单变量频数骰子是否公平？独立性检验两个分类变量是否独立？列联表（R×C）吸烟与肺癌是否相关？同质性检验多个组别的分布是否相同？列联表（组别×分类）不同教育水平的投票倾向是否一致？

通过具体例子和计算步骤，可以更清晰地理解这三种卡方检验的区别和应用场景。